حساب التفاضل والتكامل ، فرع من الرياضيات يهتم بحساب معدلات التغيير اللحظية ( حساب التفاضل ) وجمع عدد لانهائي من العوامل الصغيرة لتحديد بعض الكلي ( حساب التكامل ). يشترك عالمان رياضيان ، إسحاق نيوتن من إنجلترا وجوتفريد فيلهلم ليبنيز من ألمانيا ، في الفضل في تطويرهما لحساب التفاضل والتكامل بشكل مستقل في القرن السابع عشر. يعد حساب التفاضل والتكامل الآن نقطة الدخول الأساسية لأي شخص يرغب في الدراسة الفيزياء أو الكيمياء أو الأحياء أو الاقتصاد أو التمويل أو العلوم الاكتوارية. يجعل حساب التفاضل والتكامل من الممكن حل المسائل مثل متنوع كتتبع موقف أ مركبة فضائية أو توقع الضغط بناء خلف السد مع ارتفاع المياه. أصبحت أجهزة الكمبيوتر أداة قيمة لحل مشاكل التفاضل والتكامل التي كانت تعتبر ذات يوم صعبة بشكل مستحيل.
تكمن جذور التفاضل والتكامل في بعض أقدمها الهندسة مشاكل في المحضر. بردية خلف المصرية ( ج. 1650قبل الميلاد) يعطي قواعد لإيجاد مساحة الدائرة وحجم الهرم المقطوع. بحثت المقاييس اليونانية القديمة في العثور على مماسات المنحنيات ، و مركز الجاذبية من الأشكال المستوية والصلبة ، وأحجام الأشياء التي تشكلت من خلال منحنيات مختلفة تدور حول محور ثابت.
بحلول عام 1635 ، استكمل عالم الرياضيات الإيطالي بونافينتورا كافاليري الأدوات الصارمة للهندسة اليونانية باستخدام ارشادي الأساليب التي استخدمت فكرة المقاطع الصغيرة جدًا من الخطوط والمساحات والأحجام. في عام 1637 ، نشر عالم الرياضيات والفيلسوف الفرنسي رينيه ديكارت اختراعه للهندسة التحليلية لإعطاء أوصاف جبرية للأشكال الهندسية. سمحت طريقة ديكارت ، جنبًا إلى جنب مع فكرة قديمة عن المنحنيات التي يتم إنشاؤها بواسطة نقطة متحركة ، لعلماء الرياضيات مثل نيوتن لوصف اقتراح جبريا. فجأة ، يمكن أن تتجاوز المقاييس الهندسية الحالات الفردية والأساليب المخصصة في الأوقات السابقة. تمكنوا من رؤية أنماط من النتائج ، وبالتالي تخمين نتائج جديدة ، بحيث حجبت اللغة الهندسية القديمة.
على سبيل المثال ، مقياس الهندسة اليونانية أرخميدس (287-212 / 211قبل الميلاد) اكتشف نتيجة معزولة أن مساحة قطعة من القطع المكافئ تساوي مثلثًا معينًا. ولكن مع التدوين الجبري ، حيث يتم كتابة القطع المكافئ ص = x اثنين، كافاليري وغيره من المقاييس الهندسية سرعان ما لاحظوا أن المنطقة الواقعة بين هذا المنحنى و x -المحور من 0 إلى ل هو ل 3/ 3 وأن قاعدة مماثلة تنطبق على المنحنى ص = x 3—أي أن المنطقة المقابلة هي ل 4/ 4. من هنا لم يكن من الصعب عليهم تخمين الصيغة العامة للمنطقة الواقعة تحت المنحنى ص = x ن هو ل ن +1/ ( ن +1).
كانت مشكلة العثور على مماسات المنحنيات مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بمشكلة مهمة نشأت من تحقيقات العالم الإيطالي جاليليو جاليلي للحركة ، وهي إيجاد السرعة في أي لحظة يتحرك فيها الجسيم وفقًا لبعض القوانين. أسس جاليليو ذلك في ر ثواني ، جسم يسقط بحرية يسقط مسافة ز ر اثنين/ 2 أين ز هو ثابت (فسره نيوتن لاحقًا على أنه ثابت الجاذبية). مع تعريف السرعة المتوسطة على أنها المسافة في كل مرة ، فإن متوسط سرعة الجسم خلال فترة من ر ل ر + ح من خلال التعبير [ ز ( ر + ح )اثنين/ 2 - ز ر اثنين/اثنين]/ ح . هذا يبسط إلى ز ر + ز ح / 2 ويسمى حاصل الفرق من وظيفة ز ر اثنين/ 2. مثل ح تقترب من 0 ، تقترب هذه الصيغة ز ر ، والتي يتم تفسيرها على أنها السرعة اللحظية لجسم ساقط في الوقت المناسب ر .
في أي جانب كانت الصين في ww2
هذا التعبير عن الحركة مطابق لتلك التي تم الحصول عليها من أجل منحدر ظل إلى القطع المكافئ F ( ر ) = ص = ز ر اثنين/ 2 عند النقطة ر . في هذا الشكل الهندسي سياق الكلام ، التعبير ز ر + ز ح / 2 (أو ما يعادله [ F ( ر + ح ) - F ( ر )] / ح ) يشير إلى ميل الخط القاطع الذي يربط النقطة ( ر و F ( ر )) إلى النقطة القريبة ( ر + ح و F ( ر + ح )) ( يرى ). في ال حد ، بفواصل زمنية أصغر وأصغر ح ، الخط القاطع يقترب من خط المماس وميله عند النقطة ر .
رسم توضيحي للفرق بين معدلات التغيير المتوسطة واللحظية F ( ر ) يظهر القاطع بين ( ر و F ( ر )) و ( ر + ح و F ( ر + ح )) والظل ل F ( ر ) في ر . كالفاصل الزمني ح تقترب من الصفر ، يقترب القاطع (متوسط السرعة) من الظل (السرعة الفعلية أو اللحظية) عند ( ر و F ( ر )). Encyclopædia Britannica، Inc.
وبالتالي ، يمكن تفسير حاصل الفرق على أنه سرعة لحظية أو ميل مماس لمنحنى. لقد كان حساب التفاضل والتكامل هو الذي أسس هذه العلاقة العميقة بين الهندسة والفيزياء - في عملية تحويل الفيزياء وإعطاء فكرة جديدة الزخم لدراسة الهندسة.
سيدة غوادالوبي وخوان دييجو
بشكل مستقل ، أسس نيوتن ولايبنيز قواعد بسيطة لإيجاد صيغة ميل المماس لمنحنى عند أي نقطة عليه ، مع إعطاء صيغة للمنحنى فقط. معدل تغير الوظيفة F (دلالة بواسطة F ′) يُعرف باسمه المشتق . يُطلق على إيجاد صيغة الدالة المشتقة اسم التفاضل ، وتشكل قواعد القيام بذلك أساس حساب التفاضل. اعتمادًا على السياق ، يمكن تفسير المشتقات على أنها منحدرات لخطوط المماس ، أو سرعات للجسيمات المتحركة ، أو كميات أخرى ، وهنا تكمن القوة العظمى لحساب التفاضل.
تطبيق هام لحساب التفاضل هو رسم منحنى في ضوء معادلته ص = F ( x ). يتضمن هذا ، على وجه الخصوص ، إيجاد نقاط قصوى ودنيا محلية على الرسم البياني ، بالإضافة إلى التغييرات في الانعطاف (محدب إلى مقعر ، أو العكس). عند فحص وظيفة مستخدمة في نموذج رياضي ، فإن مثل هذه المفاهيم الهندسية لها تفسيرات فيزيائية تسمح للعالم أو المهندس باكتساب شعور سريع بسلوك النظام المادي.
كان الاكتشاف العظيم الآخر لنيوتن ولايبنيز هو أن إيجاد مشتقات الوظائف كان ، بالمعنى الدقيق ، معكوسًا لمشكلة إيجاد مناطق تحت المنحنيات - وهو مبدأ يُعرف الآن باسم النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل . على وجه التحديد ، اكتشف نيوتن أنه إذا كانت هناك وظيفة F ( ر ) التي تشير إلى المنطقة الواقعة تحت المنحنى ص = F ( x ) من ، على سبيل المثال ، من 0 إلى ر ، ثم مشتق هذه الدالة سوف يساوي المنحنى الأصلي على تلك الفترة ، F ′ ( ر ) = F ( ر ). ومن ثم إيجاد المساحة تحت المنحنى ص = x اثنينمن 0 إلى ر ، يكفي إيجاد دالة F لهذا السبب F ′ ( ر ) = ر اثنين. يوضح حساب التفاضل التفاضل أن الوظيفة الأكثر عمومية هي x 3/ 3 + ج ، أين ج ثابت تعسفي. وهذا ما يسمى (غير محدد) تكامل الوظيفة ص = x اثنين، وهي مكتوبة كـ ∫ x اثنين د x . الرمز الأولي ∫ هو حرف S ممدود ، والذي يرمز إلى الجمع ، و د x يشير إلى زيادة متناهية الصغر للمتغير ، أو المحور ، الذي يتم جمع الدالة عليه. قدم لايبنيز هذا لأنه فكر في دمج مثل إيجاد المساحة الواقعة أسفل منحنى عن طريق جمع مناطق عدد لانهائي من المستطيلات الرفيعة متناهية الصغر بين x - المحور والمنحنى. اكتشف نيوتن ولايبنيز ذلك دمج F ( x ) يعادل حل معادلة تفاضلية - أي إيجاد دالة F ( ر ) لهذا السبب F ′ ( ر ) = F ( ر ). من الناحية المادية ، يمكن تفسير حل هذه المعادلة على أنه إيجاد المسافة F ( ر ) يتحرك بواسطة جسم لها سرعته تعبير معين F ( ر ).
يهتم فرع حساب التفاضل والتكامل بالحساب التكاملات هل متكامل حساب التفاضل والتكامل ، ومن بين تطبيقاته العديدة ، إيجاد العمل الذي تقوم به الأنظمة الفيزيائية وحساب الضغط خلف السد عند عمق معين.
