التوزيع الطبيعي ، وتسمى أيضا التوزيع البياني ، دالة التوزيع الأكثر شيوعًا للمتغيرات المستقلة التي يتم إنشاؤها عشوائيًا. منحنى الجرس المألوف واسع الانتشار في التقارير الإحصائية ، من تحليل المسح ومراقبة الجودة إلى تخصيص الموارد.
يتميز الرسم البياني للتوزيع العادي بمعلمتين: المتوسط ، أو المتوسط ، وهو الحد الأقصى للرسم البياني والذي يكون الرسم البياني متماثلًا حوله دائمًا ؛ و ال الانحراف المعياري ، والذي يحدد مقدار التشتت بعيدًا عن المتوسط. ينتج عن الانحراف المعياري الصغير (مقارنة بالمتوسط) رسمًا بيانيًا حادًا ، بينما ينتج عن الانحراف المعياري الكبير (مرة أخرى مقارنة بالمتوسط) رسمًا بيانيًا مسطحًا. يرى ال.
Encyclopædia Britannica، Inc.
يتم إنتاج التوزيع الطبيعي بواسطة دالة الكثافة العادية ، ص ( x ) = هو - ( x - μ)اثنين/ 2σاثنين/ σالجذر التربيعي لـ√2π. في هذه الوظيفة الأسية هو هو الثابت 2.71828 ... ، هو المتوسط ، و هو الانحراف المعياري. إن احتمال وجود متغير عشوائي يقع ضمن أي نطاق معين من القيم يساوي نسبة المنطقة المحاطة تحت الرسم البياني للوظيفة بين القيم المعطاة وفوق x -محور. لأن المقام (σالجذر التربيعي لـ√2π) ، المعروف بمعامل التطبيع ، يتسبب في أن تكون المساحة الإجمالية المحاطة بالرسم البياني مساوية تمامًا للوحدة ، ويمكن الحصول على الاحتمالات مباشرة من المنطقة المقابلة - أي مساحة 0.5 تقابل احتمال 0.5. على الرغم من أنه يمكن تحديد هذه المناطق مع حساب التفاضل والتكامل ، تم إنشاء الجداول في القرن التاسع عشر للحالة الخاصة = 0 و σ = 1 ، والمعروفة بالتوزيع العادي القياسي ، ويمكن استخدام هذه الجداول لأي توزيع عادي بعد إعادة قياس المتغيرات بشكل مناسب عن طريق طرح متوسطها والقسمة على الانحراف المعياري ، ( x - μ) / σ. لقد ألغت الآلات الحاسبة الآن استخدام مثل هذه الجداول. لمزيد من التفاصيل يرى نظرية الاحتمالات .
يشير مصطلح التوزيع الغاوسي إلى عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش جاوس ، الذي طور لأول مرة دالة أسية ذات معلمتين في عام 1809 فيما يتعلق بدراسات أخطاء المراقبة الفلكية. أدت هذه الدراسة إلى قيام Gauss بصياغة قانونه للخطأ في الملاحظة والمضي قدمًا بنظرية طريقة تقريب المربعات الصغرى. كان الفيزيائي البريطاني جيمس كليرك ماكسويل تطبيقًا مشهورًا آخر مبكرًا للتوزيع الطبيعي ، الذي صاغ قانونه لتوزيع السرعات الجزيئية عام 1859 - عُمم لاحقًا باسم قانون توزيع ماكسويل بولتزمان.
عالم الرياضيات الفرنسي أبراهام دي موفر ، في عقيدة الفرص (1718) ، لاحظ أولاً أن الاحتمالات المرتبطة بالمتغيرات العشوائية المتولدة بشكل منفصل (مثل التي يتم الحصول عليها بقلب عملة معدنية أو دحرجة قالب) يمكن تقريبها من خلال المنطقة الموجودة أسفل الرسم البياني للدالة الأسية. تم توسيع هذه النتيجة وتعميمها من قبل العالم الفرنسي بيير سيمون لابلاس في كتابه النظرية التحليلية للاحتمالية (1812 ؛ النظرية التحليلية للاحتمالية) ، في أول نظرية حد مركزي ، والتي أثبتت أن الاحتمالات لجميع المتغيرات المستقلة والعشوائية الموزعة بشكل متماثل تقريبًا تتقارب بسرعة (مع حجم العينة) إلى المنطقة الواقعة تحت دالة أسية - أي إلى المعدل الطبيعي توزيع. سمحت نظرية الحد المركزي بمعالجة المشاكل المستعصية حتى الآن ، خاصة تلك التي تتضمن متغيرات منفصلة ، بحساب التفاضل والتكامل.
