المتغير العشوائي هو وصف رقمي لنتائج تجربة إحصائية. متغير عشوائي قد يفترض فقط عددًا محددًا أو لانهائي يُقال إن تسلسل القيم منفصل ؛ واحد قد يفترض أي قيمة في فترة ما على خط الأعداد الحقيقي يقال أنه مستمر. على سبيل المثال ، سيكون المتغير العشوائي الذي يمثل عدد السيارات المباعة في وكالة معينة في يوم واحد منفصلًا ، بينما سيكون المتغير العشوائي الذي يمثل وزن الشخص بالكيلوجرام (أو الجنيه) مستمرًا.
يصف توزيع الاحتمالات لمتغير عشوائي كيفية توزيع الاحتمالات على قيم المتغير العشوائي. لمتغير عشوائي منفصل ، x ، يتم تحديد توزيع الاحتمالات من خلال دالة كتلة احتمالية ، يتم الإشارة إليها بواسطة F ( x ). توفر هذه الوظيفة الاحتمال لكل قيمة من قيمة المتغير العشوائي. عند تطوير دالة الاحتمال لمتغير عشوائي منفصل ، يجب استيفاء شرطين: (1) F ( x ) يجب أن تكون غير سالبة لكل قيمة من قيمة المتغير العشوائي ، و (2) يجب أن يساوي مجموع الاحتمالات لكل قيمة من قيم المتغير العشوائي واحدًا.
قد يفترض المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في فترة على خط الرقم الحقيقي أو في مجموعة من الفواصل الزمنية. نظرًا لوجود عدد لا حصر له من القيم في أي فترة زمنية ، فليس من المعنى التحدث عن احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة محددة ؛ بدلاً من ذلك ، يتم النظر في احتمال وجود متغير عشوائي مستمر ضمن فترة زمنية معينة.
في الحالة المستمرة ، فإن المقابل لدالة كتلة الاحتمال هو دالة كثافة الاحتمال ، ويُشار إليها أيضًا بالرمز F ( x ). بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر ، توفر دالة كثافة الاحتمال ارتفاع أو قيمة الوظيفة عند أي قيمة معينة لـ x ؛ لا يعطي مباشرة احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة معينة. ومع ذلك ، فإن المنطقة الواقعة تحت الرسم البياني F ( x ) المقابلة لبعض الفترات التي تم الحصول عليها عن طريق حساب تكامل F ( x ) خلال تلك الفترة الزمنية ، يوفر احتمال أن يأخذ المتغير قيمة ضمن تلك الفترة. يجب أن تفي دالة كثافة الاحتمال بمتطلبين: (1) F ( x ) يجب أن تكون غير سالبة لكل قيمة من قيم المتغير العشوائي ، و (2) متكامل يجب أن تساوي جميع قيم المتغير العشوائي واحدًا.
القيمة المتوقعة ، أو المتوسط ، لمتغير عشوائي - يُشار إليها بواسطة هو ( x ) أو μ - متوسط مرجح للقيم التي قد يفترضها المتغير العشوائي. في الحالة المنفصلة ، تُعطى الأوزان من خلال دالة كتلة الاحتمال ، وفي الحالة المستمرة ، تُعطى الأوزان من خلال دالة كثافة الاحتمال. يتم إعطاء الصيغ لحساب القيم المتوقعة للمتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة بواسطة المعادلتين 2 و 3 ، على التوالي.
هو ( x ) = Σ x F ( x ) (اثنين)
هو ( x ) = ∫ x F ( x ) د x (3)
تباين المتغير العشوائي ، المشار إليه بواسطة Var ( x ) أو σاثنين، هو متوسط مرجح للانحرافات التربيعية عن المتوسط. في الحالة المنفصلة ، تُعطى الأوزان من خلال دالة كتلة الاحتمال ، وفي الحالة المستمرة ، تُعطى الأوزان من خلال دالة كثافة الاحتمال. يتم إعطاء الصيغ لحساب الفروق بين المتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة بواسطة المعادلتين 4 و 5 ، على التوالي. ال الانحراف المعياري ، المشار إليها σ ، هو الجذر التربيعي الموجب للتباين. نظرًا لأنه يتم قياس الانحراف المعياري بنفس وحدات المتغير العشوائي ويتم قياس التباين بوحدات مربعة ، غالبًا ما يكون الانحراف المعياري هو المقياس المفضل.
أين( x ) = σاثنين= Σ ( x - μ)اثنين F ( x ) (4)
أين( x ) = σاثنين= ∫ ( x - μ)اثنين F ( x ) د x (5)
اثنان من التوزيعات الاحتمالية المنفصلة الأكثر استخدامًا هما التوزيعات ذات الحدين وبواسون. توفر دالة الكتلة الاحتمالية ذات الحدين (المعادلة 6) الاحتمال الذي x النجاحات ستحدث في ن محاكمات تجربة ذات الحدين.
التجربة ذات الحدين لها أربع خصائص: (1) تتكون من تسلسل ن تجارب متطابقة (2) نتيجتان ، النجاح أو الفشل ، ممكنة في كل تجربة ؛ (3) تدل على احتمال النجاح في أي محاكمة ص ، لا يتغير من محاكمة إلى محاكمة ؛ و (4) المحاكمات مستقلة. على سبيل المثال ، افترض أنه من المعروف أن 10 في المائة من مالكي السيارات البالغة من العمر عامين قد واجهوا مشاكل في النظام الكهربائي لسياراتهم. لحساب احتمال العثور على مالكين بالضبط لديهم مشاكل في النظام الكهربائي من مجموعة من 10 مالكين ، يمكن استخدام دالة الكتلة الاحتمالية ذات الحدين عن طريق الإعداد ن = 10 ، x = 2 و ص = 0.1 في المعادلة 6 ؛ في هذه الحالة ، يكون الاحتمال 0.1937.
غالبًا ما يستخدم توزيع احتمالية بواسون كنموذج لعدد الوافدين إلى منشأة خلال فترة زمنية معينة. على سبيل المثال ، يمكن تعريف المتغير العشوائي على أنه عدد المكالمات الهاتفية الواردة إلى نظام حجز شركات الطيران خلال فترة 15 دقيقة. إذا كان متوسط عدد الوافدين خلال فاصل زمني مدته 15 دقيقة معروفًا ، فيمكن استخدام دالة كتلة احتمالية بواسون الواردة في المعادلة 7 لحساب احتمال x الوصول.
على سبيل المثال ، افترض أن متوسط عدد المكالمات التي تصل في فترة 15 دقيقة هو 10. لحساب احتمال ورود 5 مكالمات خلال الـ 15 دقيقة التالية ، μ = 10 و x يتم تعويض = 5 في المعادلة 7 ، مما يعطي الاحتمال 0.0378.
التوزيع الاحتمالي المستمر الأكثر استخدامًا في الإحصاء هو التوزيع الاحتمالي العادي. يظهر الرسم البياني المقابل لدالة كثافة الاحتمال العادية بمتوسط μ = 50 والانحراف المعياري لـ σ = 5 في. مثل جميع الرسوم البيانية للتوزيع العادي ، فهو منحنى على شكل جرس. يمكن حساب احتمالات التوزيع الاحتمالي العادي باستخدام جداول إحصائية لتوزيع الاحتمال العادي القياسي ، وهو توزيع احتمالي عادي بمتوسط صفر وانحراف معياري بمقدار واحد. تُستخدم صيغة رياضية بسيطة لتحويل أي قيمة من توزيع احتمالي عادي بمتوسط μ وانحراف معياري σ إلى قيمة مقابلة للتوزيع العادي القياسي. ثم يتم استخدام جداول التوزيع الطبيعي القياسي لحساب الاحتمالات المناسبة.
أين ذهب هنري فورد إلى الكلية
توزيع احتمالي عادي الشكل 3: توزيع احتمالي عادي بمتوسط ( ميكرومتر ) من 50 وانحراف معياري ( σ ) من 5. Encyclopædia Britannica، Inc.
هناك العديد من التوزيعات الاحتمالية المنفصلة والمستمرة. التوزيعات المنفصلة الأخرى المستخدمة على نطاق واسع تشمل الهندسي ، والهندسة الفائقة ، والحدين السالب ؛ تشمل التوزيعات المستمرة الأخرى الشائعة الاستخدام المنتظم ، الأسي ، جاما ، مربع كاي ، بيتا ، ر ، و F.
