المتجه ، في الرياضيات ، كمية لها المقدار والاتجاه ولكن ليس لها الموضع. ومن أمثلة هذه الكميات السرعة و التسريع . في شكلها الحديث ، ظهرت النواقل في أواخر القرن التاسع عشر عندما طور جوشيا ويلارد جيبس وأوليفر هيفيسايد (من الولايات المتحدة وبريطانيا على التوالي) تحليلًا متجهًا بشكل مستقل للتعبير عن القوانين الجديدة للكهرومغناطيسية التي اكتشفها الفيزيائي الاسكتلندي جيمس كليرك ماكسويل. منذ ذلك الوقت ، أصبحت النواقل ضرورية في الفيزياء والميكانيكا والهندسة الكهربائية والعلوم الأخرى لوصف القوى رياضيًا.
يمكن تصور المتجهات على أنها مقاطع خطية موجهة تمثل أطوالها مقاديرها. نظرًا لأن حجم واتجاه مادة متجه فقط ، يمكن استبدال أي مقطع موجه بواحد من نفس الطول والاتجاه ولكن يبدأ من نقطة أخرى ، مثل أصل نظام الإحداثيات. يُشار إلى المتجهات عادةً بحرف غامق ، مثل v. يُشار إلى حجم المتجه أو طوله بواسطة | v | ، أو الخامس ، والتي تمثل كمية أحادية البعد (مثل رقم عادي) تُعرف باسم العدد القياسي. يؤدي ضرب متجه بواسطة عددي إلى تغيير طول المتجه وليس اتجاهه ، باستثناء أن الضرب في رقم سالب سيعكس اتجاه سهم المتجه. على سبيل المثال ، ضرب المتجه في 1/2 سينتج عنه نصف متجه في نفس الاتجاه ، بينما ضرب المتجه في −2 سينتج عنه ضعف طول المتجه لكنه يشير إلى الاتجاه المعاكس.
الحرب في أفغانستان (1978 إلى الوقت الحاضر)
يمكن إضافة أو طرح متجهين. على سبيل المثال ، لإضافة أو طرح المتجهات v و w بيانياً ( يرى ال) ، انقل كل منهما إلى الأصل وأكمل متوازي الأضلاع الذي شكله المتجهان ؛ إذن ، v + w هو متجه قطري واحد لمتوازي الأضلاع ، و v - w هو متجه قطري آخر.
متوازي الأضلاع المتجه للجمع والطرح إحدى طرق جمع وطرح المتجهات هي وضع ذيولها معًا ثم توفير جانبين آخرين لتشكيل متوازي أضلاع. المتجه من ذيولهم إلى الزاوية المقابلة من متوازي الأضلاع يساوي مجموع المتجهات الأصلية. المتجه بين رؤوسهم (بدءًا من المتجه الذي يتم طرحه) يساوي الفرق بينهما. Encyclopædia Britannica، Inc.
هناك طريقتان مختلفتان لضرب متجهين معًا. ينتج عن المنتج المتقاطع أو المتجه متجهًا آخر يُشار إليه بواسطة v × w. يُعطى حجم الضرب التبادلي بواسطة | v × w | = الخامس في بدون θ ، أين θ هي الزاوية الأصغر بين المتجهات (مع وضع ذيولها معًا). اتجاه v × w عمودي على كل من v و w ، ويمكن تصور اتجاهه بقاعدة اليد اليمنى ، كما هو موضح في. كثيرًا ما يستخدم الناتج المتقاطع للحصول على خط عادي (خط عمودي) على سطح ما في نقطة ما ، ويحدث في حساب عزم الدوران والقوة المغناطيسية على جسيم مشحون متحرك.
قاعدة اليد اليمنى للحاصل الضرب المتجهي العادي ، أو الضرب النقطي ، لمتجهين هو ببساطة رقم أحادي البعد ، أو عددي. في المقابل ، ينتج عن الناتج المتقاطع لمتجهين متجه آخر يكون اتجاهه متعامدًا مع كلا المتجهين الأصليين ، كما هو موضح في قاعدة اليد اليمنى. يتم إعطاء مقدار أو طول متجه المنتج العرضي من خلال الخامس في بدون θ ، أين θ هي الزاوية بين المتجهات الأصلية الخامس و في . Encyclopædia Britannica، Inc.
في أي قارة تقع إيطاليا
الطريقة الأخرى لضرب متجهين معًا تسمى حاصل الضرب النقطي ، أو أحيانًا منتج عددي لأنه ينتج عنه عددي. يتم الحصول على حاصل الضرب القياسي بواسطة v ∙ w = الخامس في شيئا ما θ ، أين θ هي الزاوية الأصغر بين المتجهات. يتم استخدام حاصل الضرب القياسي لإيجاد الزاوية بين متجهين. (لاحظ أن حاصل الضرب النقطي يساوي صفرًا عندما تكون المتجهات متعامدة.) التطبيق المادي النموذجي هو إيجاد العمل في يؤديها بقوة ثابتة F يعمل على جسم متحرك د ؛ العمل الذي قدمه في = F د شيئا ما θ .
